Funktionen Mathe
Funktionen Mathe: ein großes Thema im Matheunterricht. | Foto: ferhat kesler /Getty Images
Autor

19. Okt 2021

Elena Weber

Lernen

Funktionen Mathe einfach erklärt

Funktionen Mathe: verschiedene Formen

An welchem Thema du bei Mathematik im Abitur auf keinen Fall vorbeikommst: Funktionen. Sie gehören zum Themenkomplex "Funktionen und Analysis" und begegnen dir in verschiedenen Formen. Wir erklären dir, was Funktionen sind, welche Basics du kennen und welche Funktionen du fürs Abi können solltest.


Inhaltsverzeichnis

  1. Definition
  2. Definitionsbereich
  3. Wertebereich
  4. Funktionsgraphen
  5. Verschiedenen Funktionen
  6. Wichtige Fragen
  7. Überblick

Definition: Was ist eine Funktion?

Eine mathematische Funktion bezeichnet die Beziehung zwischen zwei Variablen. Diese zwei Variablen werden einander zugeordnet. Das bedeutet, du weist einen Wert einem anderen zu, weil es zwischen ihnen einen bestimmten Zusammenhang gibt.

Die Elemente dieser Mengen werden meist als x und y bezeichnet. Die Mengen selbst unterscheiden sich in Definitionsbereich und Wertebereich. Das heißt: Die x-Werte bilden den Definitions-, die y-Werte den Wertebereich. Der Definitionsbereich wird mit D, der Wertebereich mit W angegeben. Die Funktion selbst kannst du durch eine Gleichung beschreiben und als Funktionsgraph in einem Koordinatensystem darstellen.


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Definitionsbereich

Der Definitionsbereich D gibt an, welche Werte (also Zahlen) du in eine Funktion für x einsetzen kannst. All diese Zahlen ergeben dann die Definitionsmenge. Um herauszufinden, was die Definitionsmenge ist, musst du bestimmte Bedingungen berücksichtigen. Diese legen fest, welche Zahlen du nicht in die Funktionsgleichung einsetzen darfst:

  • Es darf keine Null im Nenner stehen.
  • Es darf keine negative Zahl unter der Wurzel stehen.
  • Es darf keine negative Zahl oder die Null logarithmiert werden.

Nach diesem Ausschlussprinzip kannst du festlegen, welche Zahlen sich nicht in der Definitionsmenge befinden. Alle anderen Zahlen kannst du in die Definitionsmenge einsetzen. Deine zentrale Frage ist also immer: Welche Zahlen darf ich für x einsetzen?

Beispiele zur Definitionsmenge

Beispiel 1:

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Um die Definitionsmenge dieser Funktion zu bestimmen, überlegst du, was du, gemäß den oben genannten Regeln, für x einsetzen kannst. Hier kannst du alles einsetzen außer der Null, denn es darf ja keine Null im Nenner stehen (und allgemein darfst du durch null nicht teilen).

Beispiel 2:

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Auch hier stellst du dir die Frage: Welche Zahl darfst du für x einsetzen? Die Antwort: Du kannst alles einsetzen außer der -1. Denn 1-1 ergibt 0 – und durch null darfst du nicht teilen!

Beispiel 3:

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Erinnere dich hier an die Regel "Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen." Da du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst, fallen alle negativen Zahlen aus. Ansonsten kannst du alle positiven Zahlen und Null einsetzen.

Wertebereich

Der Wertebereich gibt an, welche y-Werte rauskommen können, wenn du jede Zahl aus der Definitionsmenge für x in die Funktion einsetzt. Auch hier gibt es bestimmte Bedingungen, die du beachten musst:

  • Wird x mit einer geraden Zahl potenziert, können als Ergebnis nur positive Zahlen oder null rauskommen.
  • Die Wurzel von x kann ebenfalls nur positiv oder null sein.
  • Steht x im Nenner eines Bruchs, bei dem der Zähler nicht 0 werden kann, kann die Null nicht in der Wertemenge sein, da die Funktion dann nie null wird.
  • Für Sinus und Cosinus können nur Werte zwischen -1 und 1 rauskommen.
  • Ist x im Exponenten, kann (bei positiver Basis) nur was Positives rauskommen, also keine negativen Werte oder die Null.

Beispiele zur Wertemenge

Beispiel 1:

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Überlege dir zunächst, welche Zahlen rauskommen können, wenn du die Definitionsmenge einsetzt. Von dieser weißt du ja, dass sie nicht null sein darf (da null ja nicht im Nenner stehen darf). Folglich kann der Wertebereich alles sein außer die Null, da das Ergebnis niemals null sein kann, wenn du 1 durch irgendetwas teilst.

Beispiel 2:

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Was kann hier rauskommen? Alles außer null: Wenn du zwei durch irgendetwas teilst, kann niemals null rauskommen.

Beispiel 3:

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Wenn du die Wurzel ziehst, kann das Ergebnis nicht negativ sein. Folglich kann das Ergebnis positiv oder null sein.

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Auch hier kann y alles Positive oder null sein, da das Ergebnis ja nie negativ sein kann, wenn du etwas quadrierst.


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Funktionsgraphen

Eine Funktion kannst du in Form eines Funktionsgraphen abbilden. Diesen stellst du in einem Koordinatensystem dar. Ein Koordinatensystem besteht aus zwei rechtwinklig angeordneten Zahlengeraden x und y, die sich am Nullpunkt schneiden. Jeder Punkt P hat damit eine x- und eine y-Koordinate.

Der Graph einer Funktion f besteht aus allen Wertepaaren (x;y). X durchläuft dabei den Definitionsbereich der Funktion. Es gilt stets y = f(x). Die Wertepaare kannst du als Punkte (x|y) im Koordinatensystem betrachten und als Funktionsgraph visualisieren.

Verschiedene Funktionen: Welche du kennen solltest

Lineare Funktion, Umkehrfunktion, Logarithmusfunktion – im Matheunterricht begegnen dir verschiedene Arten von Funktionen. Jeder Funktionstyp hat verschiedene Eigenschaften, die wir dir hier übersichtlich vorstellen.

Grundsätzlich solltest du folgende Funktionstypen kennen:

  • Potenzfunktionen
  • Ganzrationale Funktionen
  • Exponentialfunktion
  • Logarithmusfunktionen
  • Trigonometrische Funktionen

Potenzfunktionen

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion mit dem Funktionsterm f(x)=xn

Somit ist die Potenzfunktion eine Funktion, bei der die Variable die Basis einer Potenz ist. Der Exponent des Funktionsterms bestimmt die Eigenschaften einer Potenzfunktion. Diese sind:

  • Jede Potenzfunktion ist symmetrisch.
  • Mit der Monotonie kannst du überprüfen, ob die Werte einer Funktion immer größer oder immer kleiner werden. So kannst du feststellen, wo die Extrem- und Terrassenpunkte der Funktion liegen.
  • Die Krümmung beschreibt, ob die Funktion um oder gegen den Uhrzeigersinn gekrümmt ist. Dadurch kannst du bestimmen, ob ein Extrempunkt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist. 

Alle diese Eigenschaften solltest du beachten, wenn du den Funktionsgraphen zeichnest.

Exponentialfunktionen

Während du bei der Potenzfunktion die Variabel in der Basis findest, steht die Variable einer Exponentialfunktion im Exponenten. Ihre allgemeine Funktionsgleichung lautet: f(x)=ax

Für Exponentialfunktionen gilt:

  • die Basis (a) muss eine positive reelle Zahl sein. Es gilt also: a∈R > 0, a ≠ 1
  • Es gibt zwei Arten von Exponentialfunktionen: 1. Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als 1 und 2. Exponentialfunktionen mit einer Basis zwischen 0 und 1.
  • Für Fall 1 (a>1) gilt: Je größer a, desto steiler verläuft der Graph
  • Für Fall 2 (0<a<1)gilt: Je kleiner a, desto steiler verläuft der Graph.
  • Der Funktionsgraph verläuft steigend bei a>1 und fallend bei 0<a<1.
  • Der Funktionsgraph verläuft durch den Punkt (0∣1).
  • Die Funktion hat keine Nullstellen.
  • Der Graph zeigt kein Symmetrieverhalten.

Außerdem kann der Graph einer Exponentialfunktion entlang der x-Achse verschoben werden. Das passiert durch die Verschiebungskonstante c. Sie bewirkt eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten parallel zur x-Achse. Ist c positiv, ist der Graph nach links verschoben, ist c negativ, verschiebt er sich nach rechts. Die Funktionsgleichung wird dann wie folgt umgeschrieben: f(x)=ax+c

Eine Verschiebung entlang der y-Achse ist ebenfalls möglich. Hier gilt: Ist die Verschiebungskonstante d positiv, ist der Graph nach oben verschoben, ist sie negativ, verschiebt der Graph sich nach unten. Die Funktionsgleichung lautet dann: f(x)=ax+d . Die Verschiebungen können auch kombiniert werden.

Ganzrationale Funktionen

Unter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion mit der Form 

f(x)= an*xn+an-1*xn-1+...+a2*x2+a1*x+a0

Eine ganzrationale Funktion wird auch als Polynomfunktion bezeichnet. 

Die Bezeichnung "ganzrationale Funktion" ist ein Oberbegriff für andere Arten von Funktionen, die du aus dem Matheunterricht kennst:

  • Eine konstante Funktion, eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 0.
    Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=c
  • Eine lineare Funktion, eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 1.
    Die Funktionsgleichung lautet: f(x)= m*x+t
  • Eine quadratische Funktion, eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 2. Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=a*x2 +b*x+c

Logarithmusfunktionen

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion. Das bedeutet, die Variablen sind umgekehrt angeordnet. Im Falle der Logarithmusfunktion hat das den Vorteil, dass der x-Wert nicht wie in einer Exponentialfunktion im Exponenten steht. Das macht seine Berechnung leichter.

Die Logarithmusfunktion hat die Form y=logax.

Für Logarithmusfunktionen gilt: 

  • Sie haben den Punkt P(1|0) gemeinsam.
  • Sie verlaufen nur im ersten und vierten Quadranten.
  • Gehen die x-Werte gegen null, nähert sich die Funktion stets der y-Achse an, schneidet sie aber nicht.
  • Der Definitionsbereich dieser Funktionen besteht aus allen x-Werten, die größer sind als Null
  • Den Wertebereich bilden alle reellen y-Werte.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen begegnen dir auch unter der Bezeichnung Winkel- oder Kreisfunktion. Als Oberbegriff umfassen sie die Funktionen Sinus sin(x), Kosinus cos(x) und Tangens tan(x).

  • Sinusfunktion: Sie erweitert den von rechtwinkligen Dreiecken bekannten Sinus eines Winkels sin(α) auf eine Funktion im ganzen reellen Zahlenbereich R.
  • Kosinusfunktion: Sie erweitert den bekannten Kosinus aus dem rechtwinkligen Dreieck cos(α) auf eine Funktion im ganzen reellen Zahlenbereich R.
  • Durch Verschiebung kannst du die Sinus- in eine Kosinusfunktion überführen und umgekehrt. 
  • Tangensfunktion: Sie verläuft periodisch, aber nicht zusammenhängend, sodass es aussieht, als wenn immer eine neue Kurve beginnt.

Was du sonst noch über trigonometrische Funktionen wissen solltest:

  • Nullstellen, Extremstellen und alle Punkte basieren alle auf einem Vielfachen von π.
  • Trigonometrischen Funktionen ordnen einem Winkel ein passendes Seitenverhältnis zu.
  • Die Periodizität gibt an, dass sich die Werte einer Funktion nach einem konstanten Abstand immer wieder wiederholen. Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen sind periodisch.
  • Die Sinus- und Tangensfunktion sind punktsymmetrisch, die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Sinus- und Kosinusfunktionen wechseln die Monotonie zwischen den Extremstellen. Die Tangensfunktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

Wichtige Fragen

Welche Funktionen gibt es?

Es gibt viele verschiedene Arten von Funktionen. Funktionen, die dir im Matheunterricht begegnen sind unter anderem Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und ganzrationale Funktionen wie lineare Funktionen oder konstante Funktionen.

Was ist eine Funktion einfach erklärt?

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen. Jeder Menge ist ein x- und ein y-Wert zugeordnet.

Was sind Funktionen Beispiele?

Beispiele für Funktionen sind lineare Funktionen, Exponentialfunktionen oder Logarithmusfunktionen.

Überblick: Funktionen Mathe

  • Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
  • Jede Funktion hat eine Funktionsgleichung und kann in einem Funktionsgraphen dargestellt werden.
  • Es gibt verschiedene Arten von Funktionen, die sich über ihre Eigenschaften definieren.
  • Funktionen, die dir du aus dem Matheunterricht kennst, sind zum Beispiel ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen.

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