Umkehrfunktion Mathe einfach erklärt!

Definition: Was ist eine Umkehrfunktion?

Mathematische Funktionen beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen. Diese Variablen werden oft x und y genannt. Wie der Name es bereits sagt, ordnen Umkehrfunktionen Variablen umgekehrt zu. X und y werden sozusagen vertauscht. So kannst du Berechnungen rückgängig machen. Wenn f(x)=y ist, ist f-1(y)=x.  

Das Umkehren einer Funktion begegnet dir auch im Alltag: Wenn du im Urlaub in England dein Geld von Euro in Pfund gewechselt hast und dich dann im Supermarkt fragst, wie viel Euro die Tafel Schokolade kostet, kannst du das mit der Umkehrfunktion berechnen. 

Allgemein gesagt, bedeutet das: Du möchtest herausfinden, welches x du einsetzen musst, um ein bestimmtes y zu erhalten. Die Umkehrfunktion hilft dir dabei.

Der Graph der Umkehrfunktion f-1 ist der Graph von f an der Winkelhalbierenden gespiegelt. Die Winkelhalbierende ist in diesem Fall die Gerade g(x)=x im ersten Quadranten.

Monotone Funktion = Es gibt eine Umkehrfunktion

Du kannst nur dann eine Umkehrfunktion bilden, wenn es für jedes y im Wertebereich nur ein x im Definitionsbereich gibt. Solche Funktionen sind bijektiv.

Das ist bei monoton steigenden oder monoton fallenden Funktionen der Fall. Alle linearen Funktionen sind zum Beispiel monoton. Bei quadratischen Funktionen ist das etwas kniffliger. Sie haben nämlich die Eigenschaft, dass jedem x zwei y zugeordnet sind. Du kannst trotzdem eine Umkehrfunktion bilden, wenn du nur einen Teilabschnitt der Funktion betrachtest.

 Zuerst musst du die Funktionsgleichung nach x auflösen:

Nun noch x und y vertauschen, dann lautet die Umkehrfunktion:

Quadratische Funktion

Wie oben bereits beschrieben, ist eine quadratische Funktion nicht monoton und hat keine allgemeine Umkehrfunktion. Zunächst musst du also einen Definitionsbereich für die Umkehrfunktion festlegen. Zum Beispiel kannst du f(x) nur für positive Werte betrachten. Wir nehmen als Beispiel die Funktion f(x)=⅕x².

Funktionsgleichung nach x auflösen:

x und y tauschen:

Wenn du nur positive Werte betrachtest, kannst du bei der Wurzel auch nur positive Werte herausbekommen.

Potenzfunktion

Die Umkehrfunktion einer ganzrationalen Funktion bildest du genauso, wie die einer quadratischen Funktion. Hier musst du nur darauf achten, dass du zum Beispiel bei 

Exponentialfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion. Du musst dir also keine Mühe machen und irgendwas berechnen. Die Umkehrfunktion von

Trigonometrische Funktionen

Auch trigonometrische Funktionen haben in einzelnen Definitionsbereichen Umkehrfunktionen. Die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens heißen Arcus Sinus (arcsin), Arcus Kosinus (arccos) und Arcus Tangens (arctan). Zum Beispiel wird

In dieser Tabelle sind noch mal alle Funktionen, Definitionsbereiche, Wertebereiche und Umkehrfunktionen zusammengefasst:

Ableitung von Umkehrfunktionen

Für die Ableitung von Umkehrfunktionen gibt es eine ganz einfache Regel:

Diese Regel nennt man auch Umkehrregel.

Du setzt praktisch die Umkehrfunktion in die erste Ableitung von f(x) ein. Du dividierst dann die Zahl 1 durch die erste Ableitung, in die du die Umkehrfunktion eingesetzt hast.

FAQ: Häufige Fragen

Die Umkehrfunktion im Überblick

• Die Umkehrfunktion vertauscht die Variablen x und y. 
• Die Umkehrfunktion von f(x) heißt:

• Graphisch ist die Umkehrfunktion des Funktionsgraphen eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden.
• Um die Umkehrfunktion zu erhalten, geht man zwei Schritte: 1. Funktionsgleichung nach x auflösen 2. x und y tauschen
• Mit der Ableitung von f(x), kann man die Ableitung der Umkehrfunktion mit der Formel

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