Logarithmusfunktion Mathe einfach erklärt!

Definition: Was ist eine Logarithmusfunktion?

Die Logarithmusfunktion hilft dir, Variablen im Exponenten zu berechnen. Um die Funktion genauer zu verstehen, schauen wir uns erst einmal an, was genau der Logarithmus ist:

Der Logarithmus

Der Logarithmus wird mit "log" bezeichnet. Bei Exponentialfunktionen steht immer eine Zahl b in der Basis und eine Variable x im Exponenten. b hoch x ist dann gleich eine Zahl. Mit dem Logarithmus kannst du herausfinden, mit welchem Exponenten x zur Basis b du die Zahl herausbekommst.

Den Logarithmus schreibst du so:

X ist also die Zahl, die du einsetzen musst, um für bˣ die Zahl a herauszubekommen.

Gesprochen heißt das: "Der Logarithmus von a zur Basis b ist x."

Beispiel: 

Du fragst dich:

Also schreibst du im Logarithmus: log₅25=2

Der Logarithmus gibt dir an, dass du die 5 zwei Mal multiplizieren musst, damit die Zahl 25 rauskommt.

Du liest das dann so: Der Logarithmus von 25 zur Basis 5 ist 2.

Eigenschaften von Logarithmusfunktionen

Wie bei jeder anderen Funktion kannst du auch für Logarithmusfunktionen bestimmte Eigenschaften festlegen. 

Umkehrfunktion

Vielleicht ist es dir schon aufgefallen: Die Logarithmusfunktion vertauscht die Variablen x und y einer Exponentialfunktion. Die Logarithmusfunktion ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und somit ist die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion. 

Es gilt: f⁻¹(x)=bˣ

Wenn du noch mal in unserem Beispiel den Graphen der Funktion f(x)=log₃(x) betrachtest und zusätzlich die Umkehrfunktion f⁻¹(x)=3ˣ einzeichnest, kannst du sehen, dass die Funktion 3ˣ die Funktion log₃(x) an der Winkelhalbierenden gespiegelt ist.

Monotonie

Die Logarithmusfunktion ist streng monoton. Das bedeutet, entweder fällt der Graph konstant oder er steigt konstant. Für die Logarithmusfunktion gilt dabei:

Liegt die Basis a zwischen 0 und 1 (0<a<1) ist logₐ(x) streng monoton fallend.

Ist die Basis a größer 1 (a>1) ist die Funktion streng monoton wachsend.

Definitions- und Wertebereich

Die Logarithmusfunktion ist nur für positive x-Werte definiert. Für den Definitionsbereich gilt also, dass er nur aus positiven reellen Zahlen besteht.

Der Wertebereich entspricht allen reellen Zahlen. 

Merke:

Festgelegte Logarithmen: log und ln

Auf deinem Taschenrechner gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten, den Logarithmus einzugeben. Du findest die Tasten "log" und "ln". Diese Tasten sind einfach festgelegt für zwei bestimmte Logarithmen. Den dekadischen Logarithmus und den natürlichen Logarithmus.

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus oder auch Logarithmus naturalis wird mit ln abgekürzt. Die Logarithmusfunktion heißt f(x)=ln(x). Der natürliche Logarithmus ist die Logarithmusfunktion zur Basis e. e ist nicht nur ein Buchstabe, sondern eine Zahl. Diese Zahl nennt man Eulersche Zahl. 

e=2,71828 …

ln(x) hat wie alle anderen Logarithmusfunktionen auch die Nullstelle P(1︱0). Die Ableitung von ln(x) ist ziemlich simpel. Sie ist

und hilft dir später die Ableitung anderer Logarithmusfunktionen zu bilden.

Hier noch ein Beispiel für die Ableitung von ln(x):

Wir nehmen die Funktion ln (3x).

f(x)=ln(3x)

Hier musst du die Kettenregel anwenden. Dabei musst du die Ableitung der inneren und der äußeren Funktion bilden.

f’(x) ist dann immer u’ multipliziert mit v’.

Dekadischer Logarithmus

Die Taste "log" auf dem Taschenrechner ist die Taste für den dekadischen Logarithmus. Er bezeichnet den Logarithmus von x zur Basis 10.

Binärer Logarithmus

Neben dem Logarithmus naturalis und dem dekadischen Logarithmus gibt es noch den binären Logarithmus. So bezeichnet man den Logarithmus von x zur Basis 2.

Die Ableitung der Logarithmusfunktion

Du kannst jede Logarithmusfunktion auf die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) zurückführen. Deshalb musst du für die Ableitung der Logarithmusfunktion lediglich ln(x) ableiten können. Das haben wir weiter oben erklärt. Dann gilt:

Rechenregeln: Gleichungen lösen

Die Regeln zum Rechnen mit dem Logarithmus helfen dir, Gleichungen zu lösen. Mit diesen Regeln werden die Gleichungen nämlich vereinfacht.

FAQ: Häufige Fragen

Die Logarithmusfunktion im Überblick:

• Die Logarithmusfunktion y=logₐ(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion aˣ.
• Alle Logarithmusfunktionen haben den gemeinsamen Punkt P (1︱0).
• Wenn die x-Werte gegen null gehen, nähert sich die Funktion der y-Achse, schneidet sie aber nicht.
• Die Logarithmusfunktion ist streng monoton.
• Der Definitionsbereich besteht aus positiven reellen Zahlen, der Wertebereich aus allen reellen Zahlen.
• ln ist der natürliche Logarithmus, log der dekadische Logarithmus zur Basis 10.
• Mit der Produktregel, der Quotientenregel und der Potenzregel lassen sich Gleichungen viel einfacher lösen.

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