Lineare Funktion Mathe einfach erklärt
Linearen Funktionen sind die einfachste Form von Funktionen. | Foto: ThisisEngineering RAEng / Unsplash
Lineare Funktion: Darstellung linearer Zusammenhänge
Mit jeder Schokoladentafel, die ich für 1,20 Euro kaufe, wird der Preis, den ich bezahlen muss, um 1,20 Euro größer. So ein linearer Zusammenhang wird mit einer linearen Funktion dargestellt. Sie beschreibt eine gleichmäßige Zu- oder Abnahme. Was genau eine lineare Funktion ist und wie du sie berechnest, haben wir hier für dich zusammengestellt.
Definition: Was ist eine lineare Funktion?
Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 1. Sie stellt einen linearen Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und dem Wertebereich her. Linear bedeutet, dass es sich um eine gleichmäßige Zu- oder Abnahme handelt. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Sie kann steigend, fallend oder waagerecht sein.
Was eine lineare Funktion ist, lässt sich am besten an einem Beispiel erklären: Möchtest du im Supermarkt eine Flasche Limonade kaufen, kostet sie 1,50 Euro. Kaufst du zwei, musst du das doppelte bezahlen, also 3,00 Euro. Den Zusammenhang zwischen der Anzahl an Limonaden und dem Preis kannst du am besten in einer Wertetabelle darstellen:
Anzahl | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Preis | 1,50 € | 3,00 € | 4,50 € | 6,00 € | 7,50 € |
Die Formel
Die Formel der linearen Funktion ist y=m*x+t. m ist die Steigung, x die Variable und t ist der y-Achsenabschnitt.
Die Steigung
m ist die Steigung der linearen Funktion. Sie gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte verändern. Es gilt:
m>0 → die Gerade steigt
m=0 → die Gerade ist waagerecht
m<0 → die Gerade fällt
Die einfachste Möglichkeit, die Steigung zu bestimmen, ist das Steigungsdreieck. Du wählst zwei Punkte auf der Geraden: P und Q . Durch diese beiden Punkte ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, dass du einzeichnest. Das ist das Steigungsdreieck. Nun teilst du die Länge der Senkrechten
mit der Länge der Waagerechten
Wenn die Steigung zum Beispiel -5 ist, gehst du im Steigungsdreieck von einem Punkt immer einen nach rechts und 5 nach unten. Wenn die Steigung 3 ist, gehst du eine Einheit nach rechts und 3 nach oben.
Du musst aber nicht jedes Mal wirklich ein Koordinatensystem mit dem Steigungsdreieck zeichnen. Die Steigung lässt sich auch mit der Formel
berechnen.
In unserem Beispiel kannst du berechnen:
Die Steigung ist also 1,50.
Der y-Achsenabschnitt
Wie oben schon beschrieben, hat die lineare Funktion nicht nur die Steigung, sondern auch einen y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Den y-Achsenabschnitt kannst du natürlich einfach im Koordinatensystem ablesen. Aber du kannst ihn auch berechnen. Wenn wieder zwei Punkte gegeben sind, berechnest du wie oben beschrieben die Steigung. Du setzt die Steigung und einen der beiden Punkte in die Gleichung y=m*x+t ein. Dann löst du die Gleichung nach t auf und du hast den y-Achsenabschnitt.
Wir haben für unser Beispiel die Steigung ja bereits bestimmt. Wir setzen also die 1,50 für m ein und den Punkt (6︱4). Dann haben wir die Gleichung 6= 1,50*4 + t. In diesem Fall ist die Rechnung ziemlich einfach. Da 1,50*4= 6 ist, ist der y-Achsenabschnitt 0. Geraden, die durch den Punkt (0︱0) verlaufen, nennt man Ursprungsgerade. Sie gehen durch den Ursprung des Koordinatensystems.
Geradengleichung aufstellen
Je nachdem, welche Angaben du bereits hast, gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Geradengleichung f(x)= m*x + t aufzustellen:
- aus einem Punkt und der Steigung
- aus einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt
- aus zwei Punkten
Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung aufstellen
Wenn du einen Punkt P (x︱y) und die Steigung m gegeben hast, kannst du vorgehen, wie wenn du den y-Achsenabschnitt bestimmen möchtest. Du setzt m und den Punkt in die Funktion ein und löst nach t auf. Dann kannst du die Zahlen für m und t in den Funktionsterm einsetzen.
Beispiel:
m = 3 und P (-1︱1)
Setze m und P in die Gleichung ein und löse nach t auf:
1 = 3*(-1) + t
1= -3 +t ︱+3
4= t
Die Geradengleichung lautet: f(x)=3*x + 4
Geradengleichung aus einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt aufstellen
Auch hier kannst du den Punkt P (x︱y) und den y-Achsenabschnitt in die Funktion einsetzen. Nun löst du nach m auf und erhältst somit die Steigung, die du mit t in den Funktionsterm einsetzt.
Auch hier haben wir ein Beispiel:
Gegeben ist t= -2 und P (2︱1). Das setzen wir wieder in die Gleichung ein und lösen dieses Mal nach m auf.
1= m*2+2 ︱-2
-3= m*2 ︱:2
-1,5= m
Die Geradengleichung lautet in diesem Fall: f(x)= -1,5*x + 2
Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellen
Wenn du nur zwei Punkte gegeben hast, dauert das Aufstellen der Geradengleichung ein bisschen länger, ist aber trotzdem nicht schwer. Zunächst berechnest du die Steigung mit der Formel
Dann kannst du die Steigung und einen Punkt wieder in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen.
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte P (-1︱1) und Q (2︱3).
Wir berechnen die Steigung:
Jetzt können wir m und den Punkt Q in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen:
Die Geradengleichung lautet:
Nullstellen
Um die Nullstelle, also den Schnittpunkt mit der x-Achse, zu bestimmen, gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen des y-Achsenabschnitts. Je nachdem, kannst du die Nullstelle ganz einfach im Koordinatensystem ablesen. Der y-Wert jeder Nullstelle ist 0. Deshalb kannst du y=0 in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann löst du die Gleichung nach x auf und erhältst den x-Wert der Nullstelle.
Wir schauen uns das mal am Beispiel der Funktion f(x)=2*x+5 an:
0= 2*x+5 ︱-5
-5= 2*x ︱:2
-2,5= x
Die Nullstelle der Funktion f(x)=2*x+5 liegt also im Punkt P (-2,5︱0).
Eine waagerechte Gerade mit der Funktion f(x)=t hat keine Nullstellen. Die einzige Ausnahme ist f(x)= 0. Diese Funktion ist identisch mit der x-Achse und hat deshalb unendlich viele Nullstellen.
Lage von Geraden: Schnittpunkt oder parallel?
Geraden können steigen, fallen oder waagerecht sein. Wenn zwei lineare Funktionsgleichungen gegeben sind, kann man sie darauf untersuchen, ob sie sich schneiden, oder ob sie parallel zueinander liegen. Zwei Geraden, die parallel zueinander liegen, haben dieselbe Steigung. Wenn auch der y-Achsenabschnitt derselbe ist, sieht man, dass die Funktionen identisch sind.
Hier eine Übersicht, wann Geraden parallel oder identisch sind, oder einen Schnittpunkt haben:
Steigung m | y-Achsenabschnitt t | Lage der Geraden |
unterschiedlich | unterschiedlich | Schnittpunkt |
unterschiedlich | gleich | Schnittpunkt |
gleich | unterschiedlich | parallel |
gleich | gleich | identisch |
Schnittpunkt berechnen
Teilweise kannst du den Schnittpunkt einfach im Koordinatensystem ablesen. Du kannst ihn aber auch berechnen. Dafür setzt du die beiden Funktionsgleichungen der Geraden gleich und löst das lineare Gleichungssystem nach x auf. Nun kannst du das x in eine der beiden Funktionen einsetzen und erhältst den y-Wert des Schnittpunktes. Um zu kontrollieren, ob du richtig gerechnet hast, setzt du den x-Wert auch noch in die zweite Funktion ein.
Beispiel:
f(x)= 5*x + 2
h(x)= 1*x + 3
5*x+2 = 1*x + 3 ︱-1x
4*x + 2 = 3 ︱-2
4*x = 1 ︱:4
x = 0,25
y= 5*0,25 + 2 = 1,25 + 2 = 3,25
Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt im Punkt P (0,25︱3,25).
Aber nicht jedes lineare Gleichungssystem hat einen Schnittpunkt. Wenn kein eindeutiges x herauskommt, spricht man davon, dass die Geraden windschief sind.
Steigungswinkel berechnen
Manchmal kann es nicht nur interessant sein, die Steigung einer Geraden zu kennen. Man kann auch den Steigungswinkel berechnen. Der Steigungswinkel wird mit
bezeichnet. Wenn du an eine steigende Gerade ein Steigungsdreieck zeichnest, ist das der Winkel, der links vom rechten Winkel an der Geraden liegt.
Da die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180° ist, und im Steigungsdreieck ein 90°-Winkel gegeben ist
Wenn die Funktion eine positive Steigung hat, berechnest du den Steigungswinkel mit
Bei einer Funktion mit negativer Steigung berechnest du den Steigungswinkel mit
Weil du sonst ein negatives Ergebnis rausbekommen würdest, musst du plus die 180° rechnen. Denn es gilt: Winkel können nicht negativ sein.
Du kannst nicht nur Steigungswinkel berechnen, sondern auch jeweils den Winkel zur x-Achse und zur y-Achse. Diese Winkel nennt man dann Schnittwinkel.
FAQ: Häufige Fragen
Lineare Funktionen im Überblick
- Eine lineare Funktion stellt einen linearen Zusammenhang zwischen Definitions- und Wertebereich her.
- Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=m*x + t
- m ist die Steigung und t der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion.
- Die Geradengleichung lässt sich mit zwei Punkten, einem Punkt und der Steigung oder einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt bestimmen.
- Zwei Geraden können sich schneiden oder parallel liegen.
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