Lineare Funktion Mathe einfach erklärt

Definition: Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 1. Sie stellt einen linearen Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und dem Wertebereich her. Linear bedeutet, dass es sich um eine gleichmäßige Zu- oder Abnahme handelt. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Sie kann steigend, fallend oder waagerecht sein.

Was eine lineare Funktion ist, lässt sich am besten an einem Beispiel erklären: Möchtest du im Supermarkt eine Flasche Limonade kaufen, kostet sie 1,50 Euro. Kaufst du zwei, musst du das doppelte bezahlen, also 3,00 Euro. Den Zusammenhang zwischen der Anzahl an Limonaden und dem Preis kannst du am besten in einer Wertetabelle darstellen:

Die Formel

Die Formel der linearen Funktion ist y=m*x+t. m ist die Steigung, x die Variable und t ist der y-Achsenabschnitt. 

Die Steigung

m ist die Steigung der linearen Funktion. Sie gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte verändern. Es gilt:

m>0 → die Gerade steigt

m=0 → die Gerade ist waagerecht

m<0 → die Gerade fällt

Die einfachste Möglichkeit, die Steigung zu bestimmen, ist das Steigungsdreieck. Du wählst zwei Punkte auf der Geraden: P und Q . Durch diese beiden Punkte ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, dass du einzeichnest. Das ist das Steigungsdreieck. Nun teilst du die Länge der Senkrechten

mit der Länge der Waagerechten

Wenn die Steigung zum Beispiel -5 ist, gehst du im Steigungsdreieck von einem Punkt immer einen nach rechts und 5 nach unten. Wenn die Steigung 3 ist, gehst du eine Einheit nach rechts und 3 nach oben.

Du musst aber nicht jedes Mal wirklich ein Koordinatensystem mit dem Steigungsdreieck zeichnen. Die Steigung lässt sich auch mit der Formel

berechnen.

In unserem Beispiel kannst du berechnen:

Die Steigung ist also 1,50.

Geradengleichung aufstellen

Je nachdem, welche Angaben du bereits hast, gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Geradengleichung f(x)= m*x + t aufzustellen:

• aus einem Punkt und der Steigung
• aus einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt
• aus zwei Punkten

Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung aufstellen

Wenn du einen Punkt P (x︱y) und die Steigung m gegeben hast, kannst du vorgehen, wie wenn du den y-Achsenabschnitt bestimmen möchtest. Du setzt m und den Punkt in die Funktion ein und löst nach t auf. Dann kannst du die Zahlen für m und t in den Funktionsterm einsetzen.

Beispiel:

m = 3 und P (-1︱1)

Setze m und P in die Gleichung ein und löse nach t auf:

1 = 3*(-1) + t

1= -3  +t             ︱+3

4= t

Die Geradengleichung lautet: f(x)=3*x + 4

Geradengleichung aus einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt aufstellen

Auch hier kannst du den Punkt P (x︱y) und den y-Achsenabschnitt in die Funktion einsetzen. Nun löst du nach m auf und erhältst somit die Steigung, die du mit t in den Funktionsterm einsetzt.

Auch hier haben wir ein Beispiel:

Gegeben ist t= -2 und P (2︱1). Das setzen wir wieder in die Gleichung ein und lösen dieses Mal nach m auf.

1= m*2+2     ︱-2

-3= m*2        ︱:2

-1,5= m

Die Geradengleichung lautet in diesem Fall: f(x)= -1,5*x + 2

Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellen

Wenn du nur zwei Punkte gegeben hast, dauert das Aufstellen der Geradengleichung ein bisschen länger, ist aber trotzdem nicht schwer. Zunächst berechnest du die Steigung mit der Formel

Dann kannst du die Steigung und einen Punkt wieder in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen.

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte P (-1︱1) und Q (2︱3). 

Wir berechnen die Steigung:

Jetzt können wir m und den Punkt Q in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen:

Die Geradengleichung lautet: 

Lage von Geraden: Schnittpunkt oder parallel?

Geraden können steigen, fallen oder waagerecht sein. Wenn zwei lineare Funktionsgleichungen gegeben sind, kann man sie darauf untersuchen, ob sie sich schneiden, oder ob sie parallel zueinander liegen. Zwei Geraden, die parallel zueinander liegen, haben dieselbe Steigung. Wenn auch der y-Achsenabschnitt derselbe  ist, sieht man, dass die Funktionen identisch sind. 

Hier eine Übersicht, wann Geraden parallel oder identisch sind, oder einen Schnittpunkt haben:

Schnittpunkt berechnen

Teilweise kannst du den Schnittpunkt einfach im Koordinatensystem ablesen. Du kannst ihn aber auch berechnen. Dafür setzt du die beiden Funktionsgleichungen der Geraden gleich und löst das lineare Gleichungssystem nach x auf. Nun kannst du das x in eine der beiden Funktionen einsetzen und erhältst den y-Wert des Schnittpunktes. Um zu kontrollieren, ob du richtig gerechnet hast, setzt du den x-Wert auch noch in die zweite Funktion ein.

Beispiel: 

f(x)= 5*x + 2 

h(x)= 1*x + 3

5*x+2 = 1*x + 3       ︱-1x

4*x + 2 = 3              ︱-2

4*x     =   1              ︱:4

x        =   0,25

y= 5*0,25 + 2 = 1,25 + 2 = 3,25

Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt im Punkt P (0,25︱3,25).

Aber nicht jedes lineare Gleichungssystem hat einen Schnittpunkt. Wenn kein eindeutiges x herauskommt, spricht man davon, dass die Geraden windschief sind.

Steigungswinkel berechnen

Manchmal kann es nicht nur interessant sein, die Steigung einer Geraden zu kennen. Man kann auch den Steigungswinkel berechnen. Der Steigungswinkel wird mit

bezeichnet. Wenn du an eine steigende Gerade ein Steigungsdreieck zeichnest, ist das der Winkel, der links vom rechten Winkel an der Geraden liegt. 

Da die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180° ist, und im Steigungsdreieck ein 90°-Winkel gegeben ist

Wenn die Funktion eine positive Steigung hat, berechnest du den Steigungswinkel mit

 Bei einer Funktion mit negativer Steigung berechnest du den Steigungswinkel mit

Weil du sonst ein negatives Ergebnis rausbekommen würdest, musst du plus die 180° rechnen. Denn es gilt: Winkel können nicht negativ sein.

Du kannst nicht nur Steigungswinkel berechnen, sondern auch jeweils den Winkel zur x-Achse und zur y-Achse. Diese Winkel nennt man dann Schnittwinkel.

FAQ: Häufige Fragen

Lineare Funktionen im Überblick

• Eine lineare Funktion stellt einen linearen Zusammenhang zwischen Definitions- und Wertebereich her.
• Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=m*x + t
• m ist die Steigung und t der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion.
• Die Geradengleichung lässt sich mit zwei Punkten, einem Punkt und der Steigung oder einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt bestimmen.
• Zwei Geraden können sich schneiden oder parallel liegen.

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