Grenzwert berechnen einfach erklärt!

Grenzwert bestimmen: So geht’s!

Man unterscheidet zwischen zwei Fällen:

• die x-Werte gehen gegen unendlich
• die x-Werte gehen gegen einen bestimmten Wert

Um den Grenzwert zu bestimmen, kann man Wertetabellen benutzen. Man schreibt dort zu bestimmten x-Werten auf, welches y herauskommt, wenn man den Wert in die Funktion einsetzt. 

Bei der Funktion f(x)=x² sieht die Wertetabelle so aus:

Du siehst: Je größer der x-Wert, desto größer der dazugehörige y-Wert. Wenn x gegen unendlich läuft, ist auch der Limes unendlich.

Grenzwert gegen unendlich 

Wenn du dir einen Graphen im Koordinatensystem anschaust, siehst du immer nur einen Ausschnitt. Du siehst nicht, wie sich der Graph im Unendlichen verhält. Der Grenzwert zeigt dann an welchen Wert sich die Funktion annähert, wenn die x-Werte gegen unendlich laufen. x kann gegen +∞ und gegen -∞ laufen. Je nachdem schreibst du:

lim f(x)     

x → +∞

oder

lim f(x)     

x → -∞

Grenzwert an einer endlichen Stelle

Wenn x gegen eine bestimmte Zahl läuft, ist der einfachste Weg, den Grenzwert zu bestimmen, dass du einfach die Zahl in die Funktion einsetzt. Wenn du Glück hast, kommt direkt ein eindeutiges Ergebnis raus. Das ist der beidseitige Grenzwert.

Du kannst dich dem Grenzwert aber auch aus zwei unterschiedlichen Richtungen annähern – linksseitig oder rechtsseitig.

Der linksseitige Grenzwert

Beim linksseitigen Grenzwert schreibst du hinter die Zahl, gegen die dein x läuft, ein kleines Minus. Du deutest damit an, dass du dich aus der Richtung der negativen Zahlen deinem Grenzwert näherst. 

lim f(x)     

x → n⁻

In der Wertetabelle sieht das für die Funktion

wenn du x gegen 1 laufen lässt, so aus:

Du siehst, dass der Grenzwert hier -∞ ist. Die x Werte werden immer größer, aber nicht 1, und f(x)wird immer kleiner.

Weißt du nun, was der Grenzwert ist? Betrachte die y-Werte. Werden sie immer kleiner? Oder werden sie immer größer? Wird eine bestimmte Zahl getroffen?

Wir verraten es dir: Der Limes der Funktion

für x gegen 1⁺ ist +∞.

Wichtige Grenzwerte: Unbedingt merken!

Es gibt einige wichtige Grenzwerte, die du dir merken solltest:

Grenzwerte verschiedener Funktionen

Den Grenzwert mit einer Wertetabelle zu bestimmen, kann ziemlich lange dauern. In einer Mathe-Klausur hast du dazu nicht unbedingt die Zeit. Bei manchen Funktionstypen kann allein das "Aussehen" der Funktion auf den Grenzwert schließen.

Grenzwert von Exponentialfunktionen

Je nachdem welchen Wert a hat, kannst du den Grenzwert einer Exponentialfunktion ganz einfach bestimmen.

Grenzwert von Potenzfunktionen

Bei Potenzfunktionen wird der Grenzwert durch den Wert der Potenz bestimmt. Es gilt:

Grenzwert von gebrochenrationalen Funktionen

Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du den Zählergrad und den Nennergrad vergleichen, um den Grenzwert zu bestimmen. 

Hier kommt es auf den höchsten Exponenten im Zähler (n) und im Nenner (m) an und auf die Faktoren vor der höchsten Potenz im Zähler (a) und Nenner (b).

Wenn n>m ist, gibt es mehrere Möglichkeiten für den Grenzwert. Hier arbeitest du am besten wieder mit der Wertetabelle. Oder du führst eine Polynomdivision durch. Dann kannst du den Grenzwert ganz einfach ablesen. 

Regel von l’Hospital: Spezialfälle lösen

Die Regel von l’Hospital verwendest du, wenn du den Grenzwert der Funktion

bestimmen möchtest und

herauskommt.

Dann gibt es wieder zwei Schritte zu befolgen:

1. Bilde die Ableitung der Funktion g(x) und die Ableitung der Funktion h(x).
2. Bestimme den Limes von 

für x gegen a.

Wenn auch hier ein unbestimmtes Ergebnis herauskommt, musst du die Regel von l’Hospital noch einmal anwenden. Also die zweite Ableitung von g(x) und von h(x) bilden und den Limes bestimmen.

FAQ: Häufige Fragen

Grenzwert berechnen im Überblick:

• Der Grenzwert oder auch Limes gibt an, wie sich ein Graph im Unendlichen verhält.
• Meistens bestimmt man den Grenzwert mit Wertetabellen.
• Der Grenzwert gegen plus oder minus unendlich gibt an, wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte immer größer oder immer kleiner werden.
• Der Grenzwert gegen eine bestimmte Zahl gibt an, wie sich die y-Werte verhalten, wenn die x-Werte sich einer bestimmten Zahl immer mehr annähern.
• Den Grenzwert einer endlichen Stelle kann man linksseitig oder rechtsseitig betrachten.
• Regel von l’Hospital anwenden wenn: Grenzwert der Funktion

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